Si vous ouvrez un dictionnaire et que vous cherchez la définition du mot "géométrie" vous trouverez une formule ressemblant à celle‑ci :

 "Branche des mathématiques qui étudie les propriétés de l'espace"

    Et en poursuivant, vous découvrirez une liste de spécialités comme : la géométrie analytique, euclidienne ou non, affine, pure, algébrique, différentielle, vectorielle, 3D et même virtuelle...

   Pourtant celle qui entoure notre vie, celle qui modèle notre monde, celle qui fit rayonner les artistes de tout temps, celle qui fit rencontrer les mathématiciens et les philosophes, celle qui aida les hommes à dialoguer avec leurs dieux, cette géométrie que l'on nomme sacrée est non citée. Cette science a‑t‑elle été évacuée de nos manuels scientifiques pour son côté ésotérique et insaisissable ? Ou tout simplement, notre perception du monde ne serait‑elle plus capable de décoder ce type de langage ?  

Les jardins de Versailles

Sommaire

   La géométrie sacrée et les concepts de base

   Le Nombre d'Or et ses propriétés

   Les triangles sacrés

   Les mesures sacrées

   Le pentacle et le pentagone

   Le mètre et la coudée royale, des origines occultes

   La géométrie sacrée dans l'affaire de Rennes

La définition du Nombre d'Or en architecture est la suivante :

 "Nombre correspondant au partage considéré comme

le plus harmonieux d'une grandeur en deux parties inégales"

   Voilà une définition bien académicienne et pourtant pleine d'incertitude. Comment mesurer l'harmonie ? Autant essayer de décréter ce qui est beau de ce qui ne l'est pas. Mais peut‑être que la question est mal posée. Si l'on considère comme harmonieux tout ce qui se rapproche de la nature, alors le Nombre d'Or porte tout son sens. Il est en effet la clé de notre mère Nature. Tout ce qui nous entoure s'y rapporte. Les anciens l'ont très vite pressenti, assimilant ce nombre irrationnel à la trace du divin. Les Romains, les Grecs, les Juifs et les Égyptiens étaient tous très sensibilisés sur cette même notion : le nombre d’Or est le symbole de l'harmonie universelle, le nombre de la création. Les Grecs et la secte secrète des pythagoriciens en avaient fait un symbole d’harmonie universelle, de vie, d’amour et de beauté.

   Mystérieuse notion utilisée par les philosophes, les poètes, les mystiques, les artistes et les géomètres, le Nombre d'Or renferme‑t‑il la clé de la connaissance ?

Le Nombre d'Or face à son histoire

Le Nombre d'Or des astronomes

   On connaît surtout le Nombre d'Or par sa définition mathématique ou artistique, mais très peu par celle des astronomes. On attribue une découverte essentielle à l'astronome grec Méton (V^e siècle avant J.‑C.) : "Tous les 19 ans, les phases de la lune reviennent aux mêmes dates par rapport au mouvement de la Terre autour du Soleil".

   Cette découverte appelée "Cycle de Méton" fut rendue publique en 453 av. J.‑C. lors des jeux Olympiques. Cette nouvelle suscita un tel émerveillement que l'on décida d'attribuer la valeur du Nombre d'Or au cycle lunaire de 19 ans.

Le Nombre d'Or des mathématiciens

   On le désigne par la lettre grecque φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias (vers 490‑430 av J.‑C.) qui décora le Parthénon à Athènes.
   C'est Théodore Cook qui introduisit cette notation en 1914, mais surtout c'est Euclide (vers 325‑265 av J.‑C.) qui apporta une première définition mathématique dans son ouvrage "Eléments" :

   Euclide d'Alexandrie (325‑265 av. J.‑C.) fut le plus grand professeur de mathématiques de tous les temps. Son livre Éléments est toujours utilisé pour enseigner la géométrie. Il vécut en Égypte à l'époque de Platon et on sait qu'il respectait sa philosophie. Il termina ses éléments par l'étude des polyèdres réguliers. Toutes ses analyses intègrent très naturellement le Nombre d'Or.

Cette belle formule se traduit par la division en C d'un segment AB tel que :

Le résultat de ces rapports n'est autre que le Nombre d'Or   φ

On a donc :    AB / AC = AC / CB = φ

La section dorée, un juste milieu
entre A et B

   φ est un nombre irrationnel (nombre ne pouvant s'exprimer sous la forme d'un rapport de 2 entiers) et nous verrons qu'il possède des propriétés étonnantes qui ont subjugué les plus grands artistes et mathématiciens de tous les temps. Une première conséquence sur la section dorée AB et ses rapports est que si AB = 1  alors :

AC = 1/φ = φ ‑ 1      et      CB = 1/φ²

   Or puisque AC + AB = 1 nous avons deux autres relations fondamentales : ajouter 1 à  φ et on obtient son carré. D'autre part, ajouter 1 à son inverse et vous obtenez lui‑même. En clair :

 1 + φ =  φ²         et       1 + 1/φ = φ

   Cette division dite esthétique s'appelle également, rapport doré, section dorée ou d'or, proportion d'or, divine proportion, ou très poétiquement, le juste milieu...

   Euclide l'appelait partage en extrême et moyenne raison, a + b étant la majeure, a la moyenne et b la mineure. Cette proportion est dite aussi "économique" car elle ne comporte que 2 termes a et b.

φ = 1,618 03398874989484820458683...

Comment démontre‑t‑on la valeur de φ ?

Selon les rapports de la section dorée, si AC = a et CB = b

on peut écrire  a / b = (a + b ) / a

or  par définition  φ = a / b

Ceci conduit à la résolution de l'équation du second degré :   φ2 ‑ φ ‑ 1 = 0

La solution positive est le Nombre d'Or  φ = (1 + √5) / 2

Un peu d'histoire

   La connaissance autour du Nombre d'Or a fortement progressé depuis l'ancienne antiquité jusqu'à nos jours, mais nous n'avons pas d'idée précise sur l'époque exacte de sa découverte. Elle date probablement du moment où nos ancêtres apprirent à tracer un cercle et à le diviser en tronçons égaux. La nature fut aussi très certainement une grande source d'inspiration. En effet, la division par 5 ou par 10 d'un cercle aboutit irrémédiablement à de nombreuses formes pentagonales ou décagonales, faisant apparaître le Nombre d'Or. Les premiers textes scientifiques sont malgré tout grecs, même si des figures où se cache le Nombre d'Or sont visibles dès l'ancienne Égypte.

   Toutefois on ne peut renier un fait étonnant et incontestable. Le Nombre d'Or apparaît dans l'Ancien Testament et pas n'importe où puisqu'il sert de mesure à la construction de l'Arche d'Alliance. On peut en effet lire dans l'Exode (XXV,10) un ordre que donne Dieu à Moïse pour construire l'Arche :

   Le premier problème est bien sûr de connaître la valeur d'une coudée. La coudée eut plusieurs mesures au cours de l'Histoire. Cette unité très ancienne a comme base la longueur allant du coude jusqu'à l'extrémité de la main. C'est la coudée naturelle et elle correspond à 45 cm environ. Mais il existe une autre coudée encore plus ancienne, la coudée royale utilisée par les architectes de l'ancienne Égypte. Cette mesure plus grande était appréciée, car mieux adaptée à la trigonométrie. 1 coudée royale = 52,36 cm

Or il faut savoir que l'unité de base est l'empan (distance entre le pouce et l'auriculaire) = 20 cm

Convertissons une "coudée royale" en empan :

52,36 cm  / 20 cm = 2,618 = φ² = 1 + φ

1 coudée royale = 1+ φ empans

L'Arche a donc 5 (φ+1) / 2 empans de long et

3 (φ+1) / 2 empans de large

‑10 000 ans av. J.‑C. : Premières traces du Nombre d'Or sur le temple d'Andros découvert sous la mer des Bahamas

‑2800 av. J.‑C. : Les Égyptiens construisent la pyramide de Khéops, une architecture basée sur le Nombre d'Or.

‑447 à 432 av. J.‑C. : Le sculpteur grec Phidias utilise le Nombre d'Or pour décorer le Parthénon à Athènes. Il sculpte aussi la statue d'Athéna Parthénos aux proportions dorées.

‑ 300 av. J.‑C. : Euclide

   Il fut le premier a mettre par écrit les propriétés dorées. Pourtant d'autres mathématiciens ont côtoyé ce nombre mystérieux comme Pythagore ou Thalès.

  Mais Euclide fut le seul à le définir clairement, à le décliner et à l'intégrer dans ses raisonnements et ses démonstrations.
 

   Son ouvrage "Éléments" reste une référence, même aujourd'hui.

   Ses études, basées au départ sur le triangle isocèle, amènent le pentagone régulier. Il termine par l'inscription dans une sphère des 5 corps réguliers platoniciens : le tétraèdre, l'octaèdre, l'hexaèdre (le cube), l'icosaèdre et le dodécaèdre.

    C'est aussi à son époque que le compas devint l'outil privilégié du géomètre.  

   Les 5 corps d'Euclide s'inscrivent dans une sphère, et ils sont tous régis par le Nombre d'Or. Ils représentent l'harmonie parfaite.

   Au Moyen‑Âge, les savants, les hommes d'Eglise, les bâtisseurs, les maîtres d’ouvrages ou les maîtres d’œuvre, se réclamant de la doctrine platonicienne des corps cosmiques, les cinq polyèdres réguliers, ont fait du nombre d’or, "la divine proportion", un modèle de perfection esthétique et philosophique.

   Chacun des corps platoniciens est associé à un état de la matière :

Cube = Terre

Tétraèdre = Feu

Octaèdre = Air

Icosaèdre = Eau

Dodécaèdre = Cosmos

Platon (v.427‑347 avant J.‑C.)

   Platon naquit d'une famille noble d'Athènes et devint surtout célèbre par ses écrits. Il fonda son académie (la première peut‑être de l'histoire) et on y enseignait l'astronomie, la philosophie, la biologie, les mathématiques... Dans l'un de ses écrits : "Le Timée", Platon relate un dialogue entre Socrate, Timée et Critias. On peut alors lire une histoire que Platon déclare détenir de son maître: le conflit entre des anciens Athéniens aux Atlantes, 9000 ans plus tôt... Cette connaissance de l'Atlantide aurait été transmise par des prêtres égyptiens à Solon, ce dernier l'aurait communiqué à Dropide puis à l'arrière grand‑père de Cristias... Platon était‑il l'héritier de cette connaissance atlante perdue ? 

1200 ‑ Fibonacci

   Il faut ensuite se projeter dans le courant du moyen‑âge pour retrouver une nouvelle avancée très importante. Et c'est un certain Léonard de Pise, dit Fibonacci, qui la fera. Il naquit vers 1175 et fut certainement l'un des plus grands mathématiciens du moyen‑âge.
 

   Grand voyageur, homme d'affaire, il profita de ses rencontres pour intégrer les sciences du Moyen‑Orient. C'est à lui que nous devons l'introduction des chiffres arabes en Occident et la numération décimale. Auteur du fameux traité, le Liber Abaci, il aborde des problèmes théoriques et pratiques qu'il amène grâce à ses connaissances acquises en Algérie où travaillait son père. Mais surtout, il présente une suite de nombre qui le rendra célèbre : la suite de Fibonacci.

Léonardo Fibonacci (1175‑1280)

La suite et la spirale d'or de Fibonacci

   Le Moyen‑Âge du XI^e et du XII^e siècle est une période ou la pierre porte l'enseignement religieux. 80 cathédrales furent construites en France ainsi que plusieurs centaines d'églises. L'art roman puis l'art gothique au XII^e siècle viendront sublimer l'architecture en créant des voûtes de plus en plus hautes, des arcs et des croisées qui défient la pesanteur. Ces édifices qui attirent des visiteurs du monde entier sont le résultat concret de la divine proportion appliquée à l'harmonie et à l'équilibre. Ce savoir se transmettait de bouche à oreille, faisant la richesse du compagnonnage et des bâtisseurs.

Fra Luca Pacioli (1445‑1517 à Rome)

   C'est pendant la Renaissance qu'un moine franciscain, Fra Luca Pacioli, professeur de théologie sacrée, mathématicien, géomètre, publie un ouvrage en 1409 qui deviendra une référence : "De divina Proportione". Ce livre rédigé en Toscan sera illustré par Léonard de Vinci. Le Nombre d'Or est pour la première fois détaillé sous tous ses aspects mathématiques, géométriques, esthétiques et mystiques.

Luca Pacioli (à gauche) expliquant un théorème à son ami le duc Guidobaldo
peinture de Jacopo de Barbari (Musée de Naples)
Le pouce gauche du moine divise la largeur du tableau
en une divine proportion...

De la Renaissance à nos jours

   Au 19^e siècle, Adolf Zeising (1810‑1876), docteur en philosophie et professeur à Leipzig puis à Munich, parle de "section d'or" (der goldene Schnitt) à propos d'esthétique et d'architecture.

   Au début du 20^e siècle, Matila Ghyka, diplomate roumain, continuera les travaux de Zeising et du physicien allemand Gustav Theodor Fechner et publiera "L'esthétique des proportions dans la nature et dans les arts (1927)" et "Le Nombre d'Or. Rites et rythmes pythagoriciens dans le développement de la civilisation occidentale (1931)".

1945 : Le Corbusier fait breveter son Modulor qui donne un système de proportions entre les différentes parties du corps humain.

   Le Nombre d'Or a suscité de nombreuses recherches plus tournées vers l'esthétique et la psychologie que vers les mathématiques. Des artistes peintres comme Sérusier, Paul Valery, Cartier Bresson, Dali, Picasso et l'architecte Le Corbusier ont largement influencé notre esthétique moderne. Sans le savoir, nous côtoyons un mode artificiel et naturellement doré. Comme Jourdain qui découvrait la prose, nous redécouvrons aujourd'hui le Nombre d'Or, l'une des clés de la beauté de notre univers.

En résumé...

   Comme pour l'énigme de Rennes, l'histoire du Nombre d'Or se perd dans la nuit des temps. On peut toutefois lister quelques célébrités qui ont fait progresser nos connaissances dorées :

Phidias (490‑430 av. J.‑C.) ‑ Sculpteur et mathématicien grec. Il participe à la construction du Parthénon

Platon (427‑347 av. J.‑C.) ‑ Les 5 solides qu'il décrit dans le Timée intègrent le Nombre d'Or

Euclide (325‑265 av. J.‑C.) ‑ Il est l'auteur d'une première définition

Léonardo Fibonacci (1170‑1250) ‑ Il découvre la suite liée au Nombre d'Or

Luca Pacioli (1445‑1517) ‑ C'est le premier théoricien qui aborde complètement le problème du Nombre d'Or

Johannes Kepler (1571‑1630) ‑ L'astronome identifie dans ses travaux sur la section divine, le Nombre d'Or à un joyau, celui de la géométrie

Charles Bonnet (1720‑1793) ‑ Il met en évidence par l'étude des plantes et des fleurs la présence du Nombre d'Or et de Fibonacci.

Martin Ohm (1792‑1872) ‑ Premier scientifique a utiliser le terme de section dorée.

Edouard Lucas (1842‑1891) ‑ Il complète les travaux de Fibonacci

Roger Penrose (né en 1931) ‑ Il met en évidence la présence du Nombre d'Or dans le monde minéral. 

La géométrie dorée... Quelques notions...

   Nous allons aborder ici un chapitre fondamental aussi bien pour la compréhension du Nombre d'Or, que pour sa construction et ses propriétés. Ces énoncés et ces méthodes sont à la base de tous les développements dorés. Ils permettent à ceux qui veulent aller plus loin d'étudier de façon rigoureuse des scènes picturales, architecturales ou topologiques en parfaite harmonie.

Construire une section dorée

Cette méthode qui a disparu aujourd'hui des manuels scolaires reste la plus simple :

1) Construire un triangle rectangle en B tel que OB = AB / 2

2) Tracer un cercle de centre O et passant par B. Le cercle coupe AO en E.

3) Tracer un arc de cercle de centre A et passant par E. L'arc coupe AB en C.

La section ACB est dorée en C

La section dorée construite à partir du carré

Moins connue elle est pourtant très simple. Elle est aussi à la base de nombreuses constructions en architecture :

1) Dessiner un carré de côté 1 et repérer le point O milieu d'un côté

2) Tracer un demi‑cercle de centre O et passant par les coins du carré en C et D. Le demi‑cercle coupe la droite EF en A et B

La section EFB est dorée en F.

   On devine ici ce qui fascina en premier les philosophes et les géomètres. Voici un nombre insaisissable (irrationnel) qui se déduit très simplement à partir du cercle. Rappelons que dans la symbolique sacrée, le cercle est le monde spirituel et son centre est Dieu. φ (Phi) nombre de l'harmonie, serait alors en étroite relation avec ¶ (Pi) irrationnel représentant le cercle. 

φ et ¶ seraient alors les 2 nombres irrationnels permettant de décrire toute la géométrie divine...

La section dorée à partir de deux perpendiculaires

On peut également construire une section dorée à partir de 2 droites. Pour cela :

1) Tracer 2 droites perpendiculaires qui se croisent en B

2) Repérer sur l'une des droites deux points A et O milieu de AB

3) Tracer un cercle de centre B et passant par O. Ce cercle coupe les droites en ODCF.

4) Tracer un arc de cercle de centre A et passant par C

On obtient alors les rapports dorés suivants :

ED / AB = ED / FD = φ  

Le rectangle d'or

Voici ce fameux rectangle qui rendit populaire le Nombre d'Or. Il se déduit de la construction précédente. Pour le construire il suffit de :

1) Dessiner un carré de côté 1

2) Repérer le milieu O d'un côté

3) Tracer un arc de cercle de centre O et passant par le sommet C. Cet arc coupe la droite AB en E.

Le rectangle obtenu AEFD est un rectangle d'or. Notons aussi que le petit rectangle BEFC est aussi doré.

En effet, ABE est une section dorée en B. La conséquence directe est que le grand côté du grand rectangle est égal à φ. Le rectangle d'or est donc caractérisé par la propriété suivante :

Grand côté / Petit côté =  φ

Récursivité du rectangle d'or

Une autre propriété du rectangle d'or, très démonstrative est celle‑ci :

   À partir d'un premier rectangle d'or ABCD, si on lui retire son carré AEFD, il reste un second rectangle d'or EBCF. Puis en retirant un carré à ce dernier, un nouveau rectangle d'or apparaît et ainsi de suite jusqu'à l'infini...

   Le Nombre d'Or a ceci de fascinant qu'il possède en lui une forme récurrente et communicative, comme si un objet géométrique possédant la propriété dorée générait lui‑même des formes dorées. Une propriété esthétique contagieuse en quelque sorte...

   Voici donc comment la spirale d'or est construite.

   Chaque rectangle d'or est issu du précédent en enlevant un carré. Les arcs de cercle de chaque carré forment alors une belle spirale que Fibonacci mettra en évidence à l'aide de sa suite de nombres.

Le rectangle d'or à partir du triangle d'ISIS 345

On peut aussi déduire le rectangle d'or du triangle d'ISIS 345. Pour cela :

1) Dessiner un triangle sacré 345

2) Tracer un arc de cercle de centre A et passant par C. L'arc coupe la droite AB en O

3) Tracer un arc de cercle de centre O et passant par le même sommet C. Cet arc coupe la droite AB en E.

Le rectangle obtenu BEFC est un rectangle d'or car BE / BC = φ

Le rectangle d'or à partir du triangle des bâtisseurs 12

On peut déduire le rectangle d'or du triangle des bâtisseurs 12 très simplement. Pour cela :

1) Dessiner un triangle 12

2) Tracer un arc de cercle de centre B et passant par C. L'arc coupe la droite AB en D

Le rectangle obtenu ADEF est un rectangle d'or car AD / AC = φ = (1+ √5) / 2

Le rectangle d'or à partir du double carré de Barlong

Le double carré de Barlong cache aussi le rectangle d'or. Pour le découvrir :

1) Dessiner 2 carrés côte à côte. Ils forment alors un rectangle ABCD

2) Déterminer le milieu O en traçant la diagonale AC

3) tracer un cercle de centre O et de rayon OH. Le cercle croise alors la diagonale AC en E

4) Tracer un arc de cercle de centre A et passant par E. l'arc croise la droite AB en F

La section AGF est dorée en G et le rectangle GFIH est un rectangle d'or

AG / GF = AF / AG = φ

si AG = 1  alors GF =  1/φ  et  FB = 1/φ²

La suite de Fibonacci et l'art doré, quelques exemples...

La suite de Fibonacci

   La suite de Fibonacci (nom donné par l'arithméticien français Édouard Lucas en 1817) est constituée d'une série de nombres calculés de la façon suivante :

Un nombre de la suite s'obtient en ajoutant les deux nombres précédents :

Si on note F_n  le N^ème nombre de Fibonacci, F_n = F_n‑1 + F_n‑2

Les premiers nombres de la suite sont donc :

Or on démontre que si on fait le rapport de 2 nombres consécutifs    F_n / F_n‑1   le résultat tend vers le Nombre d'Or = 1,618033...  lorsque n tend vers l'infini.

Exemples :   1/1 = 1 ; 2/1 = 2  ;  21 / 13 = 1,615  ;  987 / 610 = 1,618032  ...

Dans l'architecture

   L'architecture est un domaine particulièrement prolifique pour l'épanouissement du Nombre d'Or. L'objectif est souvent double : conférer à l'édifice une harmonie dans les volumes et l'esthétique, et associer au monument un langage sacré réservé aux initiés. Dans le cas des monuments de culte, la dimension spirituelle est évidente. Les lois du Nombre d'Or permettent non seulement d'être en parfaite harmonie avec le monde terrestre, mais aussi de converser avec le divin. La proportion divine est aujourd'hui seulement utilisée pour satisfaire nos besoins de design, mais dans l'antiquité les objectifs étaient entièrement différents.

   Les exemples les plus révélateurs dans l'architecture ancienne sont la pyramide de Khéops, le Temple de Salomon, le Parthénon à Athènes, les églises romanes et gothiques...

   Il faut noter que l'ancienne civilisation égyptienne est la seule connue aujourd'hui pour avoir atteint le plus haut niveau de maîtrise dans l'art de la géométrie sacrée et de la divine proportion. On peut lire de temps à autre certains scientifiques prétendant qu'il n'existe aucune preuve de la connaissance du Nombre d'Or chez les anciens Égyptiens et notamment dans la pyramide de Chéops. Affirmer ceci c'est méconnaitre totalement la géométrie dorée et l'architecture du temple d'Horus à Edfou, de Louxor et tous les arts décoratifs et symboliques égyptiens comme Isis, Horus, Khépri, etc...

   Dans la grande pyramide de Chéops, l'aire du carré construit sur la hauteur est égale à l’aire d’une des faces triangulaires isocèles.

La demi‑face SBC de la pyramide est la moitié d'un rectangle d'or de longueur SC et de largeur BC. Les faces latérales sont donc formées de deux demi‑rectangles d'or.

Chaque face forme un triangle sacré dit de Chéops comme le triangle ABS.

Le triangle OCS est un triangle d'or

La pyramide de Chéops mesurait à l'origine : 

‑ hauteur OS = 147,5 m   (283 coudées royales)

‑ côté de la base  AB = 232 m   (446 coudées royales)

‑ Angle d'inclinaison des côtés :  51° 51 minutes

Vérifions la présence du Nombre d'Or :

BC = AB / 2    et    SC = Ö(OS² + OC²) = Ö(147,5² + 116²) = 187,6493 m

Or si le rectangle formé par les 2 côtés BC et SC est d'or alors le rapport

SC / BC =  φ   d'où   SC / BC = 187,6493 / 116 = 1,618 =~ φ

La pyramide de Chéops à Gizeh est un hymne
au Nombre d'Or et une démonstration

   Il fut bâti par Périclès en l’honneur de la déesse Athéna, protectrice de la cité d’Athènes. Le Parthénon fait apparaître un peu partout le Nombre d'Or. Par exemple sa façade avec le fronton s'inscrivent dans un rectangle doré : AD / AB = φ
Le fronton est aussi un autre triangle sacré, etc...

   Quoi de plus démonstratif que d'illustrer l'art des bâtisseurs de cathédrale par la plus belle de toutes, la cathédrale de Chartres. Elle fut édifiée entre 1194 et 1260. Entourée de mystères, elle est aussi une parfaite démonstration de la divine proportion qui imprègne toute son architecture. Tout y est doré et l'aménagement intérieur respecte une étoile à 5 branches. 

Dans la peinture

    Le Nombre d'Or a eu une influence certaine sur toutes les créations artistiques. Les périodes de la Renaissance française et italienne sont évidemment connues pour avoir largement usé de cette science . Mais il faut savoir que la géométrie sacrée a pénétré avant cela plusieurs siècles d'art pictural et les exemples foisonnent. La proportion dorée est souvent perceptible, mais elle est parfois difficile à déceler pour un non expérimenté. Or ce n'est pas parce qu'on ne la voit pas qu'elle est absente. Voici un exemple sur une enluminure du Moyen Âge du XIIIe siècle.

   Remarquez maintenant le compas sur le dessin. Traçons un cercle de centre A (le point d'articulation du compas) et de rayon l'arc du compas. Le cercle s'inscrit parfaitement dans la moitié du carré et il est tangent à la diagonale. Un cercle identique peut être posé à son côté. Son centre croise un côté du carré et la perpendiculaire. Ce cercle passe par la pointe du compas. L'enluminure a été élaborée selon une géométrie très précise et rien n'a été dessiné au hasard. De plus cette astuce permet de confirmer que la démarche est la bonne.

   Continuons en traçant un arc de cercle de centre H et à partir du sommet du carré I. L'arc croise la droite DH en B. Le rectangle BCED est un rectangle d'or.

   Traçons sa diagonale. Elle passe par l'œil de l'architecte qui symbolise la mesure de toute chose ("avoir le compas dans l'œil", expression qui est passée dans le langage courant). Remarquons enfin que le carré et le grand cercle ont comme centre F posé sur le cœur de l'architecte, centre de l'univers terrestre et spirituel...

   Le Nombre d'Or apparaît aussi dans de nombreuses proportions comme entre le diamètre de l'auréole et le diamètre de l'univers. Cette œuvre est extrêmement complexe et nécessiterait plusieurs pages pour la décrire complètement.

Dans la littérature et la poésie

   Le Nombre d'Or a aussi été très largement utilisé par de grands auteurs, par des poètes pour rythmer leurs vers, et même par des dessinateurs. Mais surtout, il est fascinant d'observer comment cette proportion divine est intégrée de façon invisible et insoupçonnée dans des images et des documents que tout le monde connaît. Un parfait exemple se trouve dans les albums d'Hergé. L'auteur utilisa le Nombre d'Or avec une extrême rigueur pour amener un équilibre dans ses scènes.

Le Nombre d'Or et la nature

   Aussi étonnant que cela puisse paraître, le Nombre d'Or se retrouve sous de nombreuses formes naturelles. Il est présent dans l'infiniment petit du vivant comme dans l'ADN, et dans l'infiniment grand à propos de la mécanique céleste. A croire que la nature est rythmée selon la suite de Fibonacci, comme si elle cherchait elle‑même l'équilibre dans l'harmonie dorée. Plus étonnant, une figure dorée revient régulièrement, la spirale d'or et que les mathématiciens appellent la spirale logarithmique. Observez, nous sommes entourés de spirales, de l'ADN à la disposition des pétales d'une fleur, d'un vent tourbillonnant à un cyclone, d'un coquillage à une galaxie. Tous ces phénomènes respectent la loi du Nombre d'Or et la série de Fibonacci...

Dans le règne végétal

Le règne végétal est certainement le domaine où le plus d'exemples existent. Les pétales de fleur et leur façon de s'ordonner dans une spirale harmonieuse suivent la série de Fibonacci. Ainsi la rose en fleur dispose ses pétales en spirale selon un angle de 137,5° entre chaque pétale. De même, les graines de tournesol mettent en relief la spirale dorée... Il y aussi les ananas, les cactus, les marguerites, les pommes de pins, etc....

137,5° est appelé l'angle d'or car   137,5° x ( φ +1) = 360°

   Il existe aussi un grand nombre de fleurs à 5 pétales et ceux‑ci sont disposés régulièrement au sommet d'un pentagone. On trouve aussi des fleurs à 10 pétales par groupe de 2.

   5 est un chiffre sacré et ce n'est pas un hasard. On le retrouve dans la nature sous différentes formes en commençant par les 5 doigts de la main...

Dans le règne minéral

   La proportion divine est très facilement visible sous un microscope en observant un cristal de neige. En effet, au 17^e siècle, Johannes Kepler note que les cristaux de neige sont arrangés selon des hexagones. Sachant que l'hexagone est une figure géométrique dorée, on peut affirmer que le monde minéral connaît aussi la proportion harmonieuse. Les cristaux basés sur des formes élémentaires de type carré, hexagonal ou pentagonal sont également soumis ou Nombre d'Or.

Dans le règne animal

   Le monde animal regorge aussi d'exemples où la loi dorée s'applique, immuable. Nous trouvons par exemple la divine proportion entre la population des ouvrières d’une ruche et celle des faux‑bourdons. Nous avons aussi ce mystère de la nature qui commande aux abeilles et aux guêpes de construire des nids en forme d'hexagones réguliers. Le Nautile, mollusque vieux de plus de 400 millions d'années utilise la spirale d'or pour construire sa coquille.

L'homme n'échappe pas aux lois...

   Depuis l'antiquité l'homme a utilisé son corps pour établir des mesures communes, or nous avons vu qu'elles sont étrangement associées au Nombre d'Or. Ce n'est pas un hasard, car il se trouve que le corps humain respecte les lois dorées. Il faudra attendre Léonard de Vinci pour le démontrer de façon anatomique. En effet l'emplacement du nombril est en parfaite harmonie, au centre d'un pentacle.

   Dans l'homme de Vitruve d'après Léonard de Vinci, le centre du pentacle est situé sur le nombril et non sur le pubis (dans la gravure de Harmonia Mundi) ce qui correspond à une réalité anatomique.

"Le centre du corps humain est en outre par nature le nombril; de fait, si l’on couche un homme sur le dos, mains et jambes écartées, et qu’on pointe un compas sur son nombril, on touchera tangentiellement, en décrivant un cercle, l’extrémité des doigts de ses deux mains et de ses orteils. Mais ce n’est pas tout: de même que la figure de la circonférence se réalise dans le corps, de même on y découvrira le schéma du carré.

   Le pentagone régulier est une figure dorée, car la proportion entre une longueur du pentacle et un côté du pentagone est le Nombre d'Or :

   Les triangles ABC et ACD sont tous deux isocèles et les longueurs de leurs côtés sont dans le rapport du Nombre d'Or. Ce sont deux triangles sacrés.

   Depuis la renaissance, l'homme a fait des progrès inouïs dans la connaissance de notre monde. Plus la technique avance et plus nous découvrons que l'univers et la vie restent un grand mystère. Un autre exemple est celui de l'ADN et de sa spirale qui, elle aussi, respecte le Nombre d'Or.

La molécule d'ADN est longue de 34 angströms et large de 21, deux nombres consécutifs de Fibonacci (34/21 = 1,619)